Ygs Fonksiyonlar Ders Notu

Fonksiyonlar
Bu ders notumuzda özenle hazırlanmış YGS ders notlarımızdan Fonksiyonlar Ders Notunu bulabilirsiniz.

FONKSİYON:

Bu konumuzda size fonksiyonları anlatacağız. Konu ilk görenler için zor olabilir ama konuyla ile ilgili biraz soru çözer ve konu anlatımlı videomuzu izleyerek daha kolay öğrenebiliriz.

A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.

x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.

https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}

biçiminde de gösterilir.

Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,  i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.

 ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.

iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir.

Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

 

 B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER


A Ç B ¹ Æ olmak üzere,

 https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/ fonksiyonları tanımlansın.

  1. (f + g) : A Ç B ® https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/, (f + g)(x) = f(x) + g(x)
  2. (f – g) : A Ç B ® https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/, (f – g)(x) = f(x) – g(x)
  3. (f × g) : A Ç B ® https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/, (f × g)(x) = f(x) × g(x)
  4. x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/

 

  1. c Πhttps://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/ olmak üzere,× f) : A ® https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/, (c × f)(x) = c × f(x) tir.

 

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ


Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..

1. Bire Bir Fonksiyon

 BBuna göre, bire bir fonksiyonda,

x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.

Diğer bir ifadeyle,

x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken

x1 = x2 ise, f  fonksiyonu bire birdir.

Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,

https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/

 

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

Ü f : A ® Bf(A) = B ise, f örtendir.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,m! = m × (m – 1) × (m – 2) ×× 3 × 2 × 1 dir.

 3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.

 4. Birim (Etkisiz)

Fonksiyon Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

      https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/

ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.

Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

 

5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona

sabit fonksiyon denir.

Ü x Î A ve c Î B için,      f : A ® B

      f(x) = c

ise, f sabit fonksiyondur.

Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

 

6. Çift ve Tek Fonksiyon

https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/

f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

 D. EŞİT FONKSİYON


f : A ® B

 g : A ® B

Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYON


f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/ biçiminde gösterilir.

F. TERS FONKSİYON


f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,

f–1 : B ® A, f–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/ (x, y) Î f ise, (y, x) Î f–1 olduğu için,y = f(x) ise, x = f–1(y) dir.

Ayrıca, (f–1)–1 = f dir.

(f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir.

 

f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir.

 

f : A ® B ise, f–1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir.

 

f(a) = b ise, f–1(b) = a dır.f–1(b) = a ise, f(a) = b dir.

 

https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/

 

Ü y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.      https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/
Ü https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/ olmak üzere,https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/
Ü https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/ olmak üzere,https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/

 

G. BİLEŞKE FONKSİYON
f : A ® B, g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.

 

 f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

      https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/

Buna göre,

f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

Ü (gof)(x) = g[f(x)] tir.

 

Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.Bu durumda, fog ¹ gof dir.

Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.

 

Ü Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.
Ü I birim fonksiyon olmak üzere,foI = Iof = f ve

f–1of = fof–1 = I dır.

Ü f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,(fog)–1 = g–1of–1 ve

(fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir.

Ü (fog)(x) = h(x)ise, f(x) = (hog–1)(x) dir.

ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir.

 

https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/•  f–1 (x) = f(x) tir.

•  (fof) (x) = x

•  (fofof) (x) = f(x)

•  (fofofof) (x) = x

 

 H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ


Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.

f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}

https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/ (a, b) Î folduğundan

f(a) = b dir.

Ayrıca, f–1(b) = a dır.

 

Ü https://ygs.konu-anlatimi.gen.tr/Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,

f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir